Als je met een trein met 260.000 km per seconde reist, en iemand kijkt van buiten in die trein dan zien ze dat de klokken twee keer zo langzaam lopen, dat de mensen langzaam lopen, dat alles in die trein eruit ziet alsof het vertraagd is. Bij 260.000 km per seconde, een ongelooflijk grote snelheid, is het dus twee keer zo langzaam. Maar het is niet een unieke snelheid. Wat Einstein wilde is weten hoeveel trager klokken lopen bij welke snelheid. Dat ie een formule kon maken waar die een snelheid instopte en waar een tijdsvertraging uitkwam. Ik ga met jullie iets heel natuurkundigs doen. Ik ga die formule daarvoor afleiden en dan zie je precies waar die vandaan komt. En met wat middelbareschoolwiskunde kun je dan precies doen wat Einstein ook kon doen in 1905. Om dat te doen moet je eerst weten wat een klok is. Wat is tijd? Alle klokken, atoomklokken, slingeruurwerken werken op dezelfde manier. Het is iets wat de hele tijd tikt. De wijzer houdt alleen bij hoeveel tikjes er zijn geweest. Maar als je goed luistert hoor je de hele tijd het tikken van de klok. Als je wil weten hoeveel trager een klok gaat lopen moeten we uitrekenen hoeveel langer of korter de tikjes gaan duren. Dus eigenlijk wil je zo’n soort formule. Een formule van t op het station is gelijk aan vraagteken iets, een bepaalde factor, keer de t in de trein. Dus je kijkt naar de lengte van de tikken voor iemand op het perron, hoeveel langzamer de tikken van de klok in de trein zijn geworden. En in het geval van 260.000 km per seconde is dat 2 keer, dus zal er 0,5 komen te staan. Welke formules moet je kennen om dit te kunnen? Einstein klinkt ingewikkeld. De enige twee formules die je moet weten, de stelling van Pythagoras: A²+ B² = C². En bij natuurkunde een van de eerste formules die je geleerd hebt is dat de snelheid gelijk is aan de afstand gedeeld door de tijd. Oftewel V = X gedeeld door t. En die kun je door elkaar husselen dat x gelijk is aan v x t maar dit zijn de enige twee formules die je moet kennen. Dan gaan we twee bijzondere klokken maken in de trein en op het perron. Die zien er een beetje raar uit maar ze tikken net zoals deze klassieke klok. Wat doet die klok? Die klok bestaat uit twee spiegels boven elkaar en een lichtdeeltje is continu op en neer aan het stuiteren. En als ie de spiegel aanraakt zegt de spiegel tik. Dus je hebt een klok gemaakt door een op en neer bewegend lichtdeeltje. In de trein kun je uitrekenen hoe lang het lichtdeeltje erover doet om van de onderste spiegel naar de bovenste spiegel te gaan. Als de afstand tussen de twee spiegels h is, en je weet dat v = x gedeeld door t, dan kun je uitrekenen dat de hoogte van de spiegel, kun je omschuiven in de lichtsnelheid x de tijd die die erover doet. Oftewel de hoogte tussen de twee spiegels i gekoppeld aan de tijd door middel van de lichtsnelheid, h = c x t. Op het station, waar iemand staat die kijkt dat een trein voorbij komt, die ziet wat anders. Die ziet niet twee spiegels boven elkaar waar een lichtdeeltje zo op en neer gaat verticaal, wat ie ziet, is de spiegels die voorbij komen bewegen. Dat lichtdeeltje gaat niet verticaal maar dat maakt een schuine stap omhoog en dan weer omlaag. Met de spiegels gaat ie mee. Dus wat je nu hebt is niet een lichtdeeltje wat verticaal gaat, maar een schuine lijn. Als je hier de spiegelbeweging van dat lichtdeeltje ziet, zie je eigenlijk vrij snel dat als je de hoogte van de spiegels invult, de h, dat je vrij snel uitkomt op een soort stelling van Pythagoras. Je ziet al, waar het lichtdeeltje in de trein wat stilstond voor iemand in de trein op en neer ging, verticaal, gaat het lichtdeeltje vanuit het perspectief van iemand die langs de kant staat, schuin. Als je je Pythagoras goed herinnert weet je dat de schuine zijde langer is dan de verticale zijde. Dat is heel raar want we hadden afgesproken en gemeten dat de lichtsnelheid altijd constant is, voor iedereen gaat ie altijd even snel. Maar in de trein legt ie deze afstand af, en in dezelfde tijd voor je gevoel legt ie voor het perspectief van iemand die op het station staat, een grotere afstand af. Hoe komt dat? Dat komt, en dat was de briljante gedachte van Einstein, omdat de tijd een beetje vertraagd wordt. Zodat het licht toch nog de tijd heeft om de afstand van die schuine zijde S af te leggen. Dan zijn we er bijna. Dan moeten we het in een en ander in elkaar om gaan schrijven. Want wat we willen is die ene formule, t op het station is gelijk aan een vraagteken, een factor x de t in de trein. Dat is wat we wilden uitrekenen. Beginnen we met de stelling van Pythagoras. I dit geval, is de onderste zijde van de driehoek, A², plus de verticale zijde, h², gelijk aan de schuine zijde, s²Dus a-kwadraat = h² is s², gewoon de stelling van Pythagoras. Nu gaan we kijken wat al die dingen zijn. H, die verticale, hadden we al uitgerekend. Die is hetzelfde, of je nu in de trein zit of op het perron bent, in principe is die hetzelfde. Dus voor die h kunnen we opschrijven h = c x t. Die kunnen we invullen voor de h. Voor de S, die kunnen we ook weer omschrijven, dat is de afstand die het licht aflegt voor de tijdklok van degene die buiten de trein staat. Laten we die tikjes t’ noemen. Dus dan heb je die schuine zijde, die afstand is gelijk aan c x t’. Dan hebben we de schuine, de verticale en dan moeten we nog de horizontale doen. Die wordt bepaald door de snelheid waarmee die trein beweegt, dus de afstand a kun je omschrijven naar de snelheid van de trein, v, x t’ want het is nog steeds degene op het perron, zijn tijd beweegt. Gaan we dat allemaal invullen. A-kwadraat + h² = S². Op de A kun je invullen: v x t’². H konden we c x t² invullen. En die S kunnen we vervangen voor c x t’². Dan kun je gaan husselen zodat je uiteindelijk t = ?xt’ zou krijgen. Dus dan krijg je aan de linkerkant ct² = ct’²– vxt’². Buiten haakjes halen, delen door C², en dan hou je uiteindelijk over, t², = t’² x (1-V²t gedeeld door C²). Dat is het vraagteken dat we wilden uitrekenen. Dat is de factor die bepaalt als je er een snelheid instopt hoeveel langer de tikken van de een duren ten opzichte van de ander. Dat noemen we natuurkundige gamma en die is bedacht door Einstein. Die kunnen we nu gaan invullen: 260.000 km per seconde gedeeld door de lichtsnelheid in het kwadraat, die 260.000 per seconde ook in het kwadraat, delen we door elkaar, 1 – dat, daar de wortel van en uiteindelijk hou je dit over: een factor half. De tijd gaat twee keer zo langzaam als je van buiten in de trein kijkt. Je kunt overal elke snelheid die je maar wil invullen. Maar als je hier 100 km per uur invullen en die deel je door de lichtsnelheid enz. enz. dan kom je erachter dat verschil merk je nauwelijks, dat is zo dichtbij 1 dat de tikken ongeveer even lang zijn. En zo kon Einstein uitrekenen wat het verschil in tijdswaarneming is.
