Klas 4/5/6

Wat kun je met wiskunde? In welke beroepen is wiskunde belangrijk? Welke rol speelt wiskunde in de samenleving? Presentatie: Michiel Huisman.

Programmaheaders

Verhoudingen

Wiskunde voor de tweede fase

Bekijk ook

Extra's

Schooltv biedt meer dan video's! Ontdek onze extra inhoud:

Ontvang jij de nieuwsbrief al? Blijf op de hoogte door je aan te melden en ontvang elke maand een nieuwsbrief naar keuze in je inbox!

Ja, dat kan ik wel doen, maar ja, dan moet ik eerst effe beginnen om mijn jasje uit te trekken.Ik begin even met je.., met je taille. Zo.Okay.Maar dus nu heb je…, wat is mijn maat nu?Die is 84 en een half en ik houd altijd mijn duim d’ronder, dan heb je nog een klein beetje uit te ademen.Ja.Dan gaan we naar de heup. Maar stel je je voor, dat je dus straks 10 maten moet opmeten, hoe kan het dan, dat je gewoon precies weet hoe mijn lichaam in elkaar zit?Ja, dan moet je bepaalde ijkpunten pakken van het lichaam en vanuit daar kan je dus vloeiende lijnen door trekken, maar dan heb je de belangrijkste punten.We gaan tekenen.Uiteindelijk knip je dit uit en dat leg je dan op de stof.En dan knip je die stof uit?Okay. Maar omdat het helemaal op maat wordt gemaakt, maak je hier dan eerst een proefjasje van en dan kan het nog zijn, dat d’r hier en daar nog dingen zijn die niet goed zijn en die haal je dan weer weg. En dan kom je uiteindelijk kom je het perfecte jasje voor jouw persoon.De verhoudingen binnen het menselijk lichaam: zijn die bij iedereen hetzelfde?Ja, verhoudingen is echt het allerbelangrijkste voor ontwerpen. En de basis van de verhoudingen, dat ligt ‘m in de afstand van de navel tot de grond ten opzichte van de lengte, de totale lengte.1,6 is de afronding op 1 decimaal van oneindig veel getallen tussen 1,55 en 1,65. 1 van die getallen heet het Gouden Getal φ. Om precies te zijn: de helft van wortel 5 plus 1. Dit getal komt op veel plaatsen terug. Bijvoorbeeld bij de verhouding tussen de lengte van je vingerkootjes of de verhouding tussen hoogte en breedte van je hoofd. Het gouden getal speelt in de architectuur, natuur en kunst een opvallende rol. Je ziet het bijvoorbeeld in de tekeningen van Da Vinci en schilderijen van Seurat. De verhoudingen komen dicht in de buurt van het Gouden Getal. Maar het is onwaarschijnlijk, dat zij wiskundige berekeningen hebben gebruikt bij vlakverdelingen. Een voorbeeld van onbewuste wiskunde die staat voor ware schoonheid.Er komt aardig wat wiskunde bij kijken, bij het kleding ontwerpen. En dat is maar een voorbeeld van hoe vaak en hoeveel wij getallen en cijfers gebruiken om de dingen om ons heen te ordenen en te structureren.

De verhoudingen van het menselijk lichaam zijn eigenlijk altijd hetzelfde. En die verhouding kom je op veel onverwachte plaatsen tegen.

Orde en structuur in de mode

Het Spaanse bedrijf Hitzone beweert, dat ze kunnen voorspellen of een liedje een hit zal worden. Ze vergelijken wiskundige patronen in zo’n liedje met miljoenen hits in een database. Ze voorspellen bijvoorbeeld, dat Grace Kelly van de toen nog volslagen onbekende Mika een hit zou worden.Onderzoekers uit Amsterdam kunnen iets dat nog veel stoerder is: zij kunnen liedjes sorteren op genre zonder te vergelijken met één of andere database. En ze kunnen niet alleen liedjes sorteren, maar ze kunnen ook talen sorteren of diersoorten. Het idee achter de methode is heel eenvoudig: eerst sla je de dingen die je wil sorteren digitaal op. Daarna gebruik je een zipprogramma om de files zo klein mogelijk te maken. Een zipprogramma kan dingen waar veel structuur in zit heel efficiënt opslaan. Mika zingt bijvoorbeeld 3 keer “I could be blue” en dat hoef je dan maar 1 keer op te slaan. De truc is, dat het programma steeds bestanden samen probeert zo klein mogelijk op te slaan. En als 2 bestanden heel erg op elkaar lijken, dan kan het flink gecomprimeerd worden.Zo ontdekt het programma, dat Mika veel meer lijkt op Robbie Williams dan op Frans Bauer en dat Mika samen met Robbie Williams een veel kleinere combinatie oplevert.Het programma hoeft niet te weten wat het aan het sorteren is, de overeenkomsten in structuur doen vanzelf hun werk. Dit geldt dus voor muziekstijlen, maar bijvoorbeeld ook voor het DNA van zoogdieren.

So you wanna be a popstar

Een Spaans bedrijf voorspelt op grond van een wiskundige structuur dat het nummer Grace Kelly van Mika een hit zou worden. Hoe kan extreem comprimeren leiden tot wiskundige overeenkomsten? 

In de top 10 met behulp van wiskunde

Mijn vriend is echt superleuk! Maar hij laat wel altijd zijn vieze onderbroeken slingeren. En soms vraag ik me af of er niet nog een leukere vriend is voor mij. Hoe weet ik of ik op zoek moet naar een andere partner? Een Australische wiskundige, geeft in haar boek 'Sex And Mathematics' antwoord op deze vraag. Haar strategie is lekker eenvoudig: je probeert eerst 12 mannen, of vrouwen, wat je wil, en daarna neem je de eerste die beter is dan andere alle vorige. Zo heb je 75% kans om succes te hebben. En succes betekent hier, dat je één van de best mogelijke partners vindt. Ze vertelde er trouwens niet bij hoe je die mannen moet proberen, dat mag je zelf weten. Dus mijn vriend is nummer 14 en leuker dan alle vorige, dus ik houd hem! Dit is een voorbeeld van een probleem dat vaker voorkomt. Je krijgt één voor één een aantal keuzes te zien, maar je weet van te voren niet wat de best mogelijke optie is. Je moet meteen beslissen of je wat je ziet wil houden of dat je liever op een volgende wacht. En je mag daarna niet meer terug naar een vorige optie. Gelukkig is daar een vuistregel voor: laat iets meer dan 1/3 van de taarten voorbij gaan en kies daarna de 1ste die lekkerder is dan alle vorige. Zo heb je de grootste kans om de lekkerste taart te kiezen.

Op zoek naar de juiste partner

Via een wiskundige berekening kan je vaststellen of je op zoek moet naar een nieuwe partner. Zien hoe dat werkt? Bekijk deze clip. 

Wiskunde helpt

In de TV-serie Numb3rs helpt de wiskundige Charlie zijn broer Don  die bij de politie werkt. In de allereerste aflevering is de politie op zoek naar een serieverkrachter. Ze willen weten waar hij de volgende keer toe zal slaan. Charlie zegt, dat ze beter iets anders kunnen doen. Hij vergelijkt het patroon van de crimescenes met een tuinsproeier. Als je de druppels uit een tuinsproeier 1 voor 1 nummert, kun je niet voorspellen waar de volgende druppel terechtkomt. Dat is veel te moeilijk. Maar als je het patroon van de druppels kent, kun je wel voorspellen waar de sproeier staat. Charlie gebruikt dit idee om aaan de hand de crimescenes te voorspellen waar de verkrachter woont. De politie onderzoekt het DNA van alle mannen in de wijk, maar de dader zit d’r niet tussen. Charlie is bang, dat hij een fout heeft gemaakt. En dan doet hij iets heel belangrijks: hij gaat zijn model toetsen. Daarvoor haalt hij allerlei stukken uit het Politiearchief en met al die dossiers kijkt hij of zijn model wel klopt. Hij vindt een klein foutje, maar dan vindt hij met zijn nieuwe model een wijk die helemaal binnen de oude wijk valt. Aan het eind van de aflevering blijkt, dat zijn model klopt, maar dat de dader net is verhuisd. Je kunt dus niet alles met wiskunde voorspellen. Het lijkt allemaal wat vergezocht, maar het model van Charlie werd eind jaren ’90 gebruikt om een serieverkrachter in Louisiana te vinden. Ook toen konden alle mannen in het aangewezen gebied worden uitgesloten, want de dader was net verhuisd. Gelukkig kwam een rechercheur daar achter en kon de verkrachter alsnog worden opgepakt. De makers van Numb3rs’s hoefden dus maar heel weinig zelf te verzinnen.

Wiskundig recherchewerk

In de televisieserie Numb3rs wordt met behulp van wiskundige modellen recherchewerk verricht. Verbanden helpen de speurneuzen bij het vinden van de dader. Hoe? Bekijk deze clip. 

Waarom kan wiskunde helpen bij het vinden van de dader?

Jij staat in een spelshow voor 3 gesloten deuren. Achter 2 van de deuren staat een geit, maar achter de derde deur staat een hele mooie auto en die wil je winnen. Jij mag 1 van de 3 deuren kiezen. Je kiest 1 van de 3 deuren en dan gaat de presentator 1 van de andere 2 deuren openmaken. En de presentator weet waar de geiten staan en hij kiest een deur waar een geit achter staat. Er zijn nu nog 2 deuren over. De presentator biedt je aan dat je nog mag wisselen. Wat doe je? Kies je de deur die je als eerste had gekozen of neem je de andere? 
Als je blijft staan, win je de auto alleen als je aan het begin al meteen goed gegokt had. Die kans is 1/3. Als je wisselt, dan win je juist als je in het begin verkeerd had gegokt. En die kans is 2/3. Het is dus beter om te wisselen. Dit lijkt misschien nogal moeilijk te geloven. Toen het probleem voor het eerst in de krant werd gepubliceerd, kwamen daarna ook honderden boze brieven binnen van lezers die zeiden, dat het niet klopte. Ook van wiskundige professoren. Maar probeer je je nou eens voor te stellen, dat d’r niet 3 deuren zijn maar 100 en dat jij een deur kiest en dat de presentator daarna 98 deuren openmaakt waar een geit achter staat. Zou je dan wel van deur wisselen?

Kiezen

Kiezen is altijd lastig. Hoe weet je nou zeker of je de beste keuze maakt? Kansrekening geeft het antwoord.     

Hoe maak je wiskundig de beste keuze?

Stel: je haalt kauwgumballen uit een hele grote automaat. De 1ste kauwgumbal die eruit komt is geel, de 2de kauwgumbal is geel en de 3de kauwgumbal is geel, en zo ga je door. En elke kauwgumbal die d’r uit komt blijkt een gele kauwgumbal te zijn. Na 1000 keer concludeer je: “uit deze automaat komt altijd een gele kauwgumbal”. Nou, een wiskundige zou dat niet doen. Die wil namelijk eerst het bewijs zijn voor hij iets concludeert over een patroon.D’r zijn bijvoorbeeld beweringen over getallen die we na kunnen gaan voor een heleboel losse getallen, maar waarvan we niet weten of ze altijd waar zijn. Neem bijvoorbeeld de Formule van Goldbach. Deze formule zegt, dat elk even getal groter dan 2 te schrijven is als de som van 2 priemgetallen. Een priemgetal is een getal dat alleen te delen is door zichzelf en door 1. Je kan de Formule van Goldbach heel makkelijk nagaan voor losse voorbeelden: 4 is bijvoorbeeld 2 plus 2, 20 is 13 plus 7 en 2008, dat is 2003 plus 5. Het vermoeden is gecheckt voor alle even getallen tot 10 tot de 18e. Dat is een enorm getal. Maar wiskundigen zijn nog niet tevreden. Het kan nog best zo zijn, dat d’r een getal boven 10 tot de 18e bestaat dat niet geschreven kan worden als een som van 2 priemgetallen. Je kunt nu natuurlijk zeggen: “ja hé zeg, als je zoveel gevallen hebt geprobeerd, dan zal het toch wel altijd waar zijn?”. Dat is helaas niet zo. Er zijn beweringen die waar zijn tot een bepaald heel groot getal en daarna niet meer. Een flauw voorbeeld is de bewering: elk getal is kleiner dan 1018. Voor 1 klopt dit, voor 2 klopt het ook en voor 3 ook en zo kan je heel lang doorgaan en toch ziet iedereen, dat het niet waar is. Dat je een bewering kunt controleren voor heel veel getallen betekent dus niet, dat die bewering altijd waar is. Zonder bewijs weet je nooit zeker dat d’r toch niet ooit nog eens een rode kauwgumbal uit de automaat komt rollen.

Wiskundige waarheid

Als er steeds gele kauwgomballen uit een automaat komen, kan je dan met zekerheid stellen dat er nooit een rode uit komt? In de wiskunde zijn experimentele bewijzen nooit genoeg. Maar wanneer is iets de wiskundige waarheid?

Experimentele bewijzen zijn niet genoeg!

Een voorspelling waar we allemaal dagelijks mee te maken hebben is het weerbericht, toch, Marion? Ja, absoluut. Hoe voorspel je het weer? Nou, het ligt d’raan of je het op de lange of de korte termijn wil. Kijk: op de korte termijn maak ik ook wel gebruik van radarbeelden. Wat je ziet, dat gebeurt ook. Dit zijn allemaal buien wat je hier allemaal ziet de kans dat het nu regent in Limburg, dat is echt 100%. Dus dit is voor ons de makkelijkste manier om het weer op de hele korte termijn te verwachten. En wat is de moeilijke manier? Als je het op de langere termijn wil, dat zal ik je ook even laten zien. Daar hebben we dus ook computermodellen voor, die berekenen voor ons het weer een aantal dagen vooruit. Dat is op deze kaartjes ook heel mooi te zien. Je ziet hier een lagedrukgebied ontwikkelen boven Noord Italië en dat komt de komende dagen onze kant op. Dus de kans, dat het bijvoorbeeld op vrijdag en zaterdag gaat regenen, die is ook wel vrij groot. Maar ja, soms komt het dus niet uit. 
Maar wat nou als we willen weten hoe het weer is over 2 weken? We gebruiken ook wel eens een tiendaagse verwachting, hoe verder je in de tijd gaat kijken, hoe onzekerder de verwachting wordt. Je moet je voorstellen: bij zo’n model: je stopt er wat in, dus alle waarnemingen worden in zo’n model gestopt. Dus nu ga je het model 50 keer laten rekenen met een iets andere begintoestand. En daar komen dan dit soort plaatjes uit. En je ziet: hoe verder je in de tijd gaat, hoe groter de spreiding wordt, want ja, als ik nu naar woensdag 12 uur ga kijken, een dag of 7, 8 vooruit, het kan bijvoorbeeld ’s middags 13 graden zijn, maar het kan bijvoorbeeld ook 25 graden zijn, dus nou ja, de kans is 2%, dat het op woensdag 25 graden wordt. 
Om de kans op een bepaalde gebeurtenis weer te geven, zoals de kans op regen morgen, is de volgende notatie gebruikelijk: P tussen haakjes gebeurtenis hier X = A. En dat noemen we een “stogast”, P tussen haakjes X = 4 is dan de kans op 4. De stogast of toevalsvariabele is de variabele waarvan de waarde afhangt van het toeval. Deze wordt aangegeven met een hoofdletter, hier de hoofdletter X. Een stogast kan verschillende waarden A aannemen. Bij elk van die waarden kun je de kans P tussen haakjes X = A berekenen. Deze kansen vormen de kansverdeling van de stogast X. 
Aanstaande vrijdag, moet ik dan een paraplu meenemen? Zou ik wel doen, want als je naar het neerslagplaatje kijkt, dan zie je, dat de kans vrijdag vrij groot is, dat er een millimeter of 5 gaat vallen, dus dat het in ieder geval gaat regenen. Dat kan ik nog wel ergens anders mee demonstreren: met de kansverdeling van de neerslag, als we naar de vrijdag kijken, dan zien je, dat, de kans dat d’r tussen de 10 en de 30 millimeter valt, dat is het rode gebiedje, de kans tussen de 3 en de 10 millimeter, dat is dat roze gebiedje, nou, die is vrij groot. En de kans dat d’r regen gaat vallen is ongeveer 90%. Dus ik zou die paraplu maar meenemen. Maar wat als het droog blijft op die dag? Betekent dat dan dat het niet klopt wat je zei? Ik heb eigenlijk altijd gelijk, want als ik zeg, dat er 90% kans is dat het gaat regenen, is er altijd 10% kans dat het droog blijft. Als je naar 10 dagen kijkt, dan wil ik, dat het op 9 van die 10 dagen gaat regenen en 1 dag, ja, zal het dan droog blijven.

Weersvoorspellingen

Weervrouw Marion de Hond gebruikt gegevens uit het verleden om de toekomst van het weer te voorspellen. Maar klopt het wel wat ze zegt?

Wat voor weer wordt het vandaag?

De ruimte in een vliegtuig, hoe groot die vliegtuigen soms ook zijn, is maar beperkt. Dat is dus dure ruimte. Hier kun je veel geld mee verdienen als je dat zo efficiënt mogelijk indeelt. Inmiddels is berekend wat de beste manier is om een vliegtuig in te laden met een wiskundige formule.Wat is het probleem?Het probleem? Dat zit in het laden van vliegtuigcontainers. Als je gaat reizen, moet je koffer uiteindelijk in zo’n container. De bedoeling is, dat de container zo vol mogelijk geladen wordt, zodat d’r zo min mogelijk containers mee aan boort hoeven en zodat de KLM dus posities overhoudt om betalende vracht mee te nemen. Dus zodoende hun inkomsten kan maximaliseren. Okay, daar zijn jullie wat voor aan het bedenken?Ja. Ja, dat begint al wanneer jij je tas incheckt eigenlijk. We maken dan foto’s met een camerasysteem. Bart heeft een tas bij zich. Nou, die koffer, die gaat dan over die bagageband. Terwijl die getransporteerd wordt, wordt er een foto van die koffer gemaakt. We maken een foto van de bovenkant, van de zijkant, plakken we aan elkaar en we krijgen een 3D-volume. Wat we hier op het scherm zien is het resultaat van alleen de bovenkant. Zo zien we een hoop lintjes. Wat doen we dan? Nou, dan moet de computer kijken: “wat zijn lintjes en wat is echt de tas?”. Dit zijn de lintjes, dan knippen we de lintjes er af en dit houden we over.Dat kan de computer allemaal zelf?Ja. D’r komt geen mens aan te pas. We hebben gewoon een container waar koffers in moeten en dit filmpje laat eigenlijk zien hoe het op dit moment gebeurt. Dus de koffers komen één voor één aan, je laadt ze direct zonder te weten wat d’r nog aankomt laadt je ze zo slim mogelijk in een container. En hier zien we, dat ie ongeveer tot 28 komt. En je kunt dus ook zien, dat het veel beter kan als je gaat bufferen. En dat bufferen, dat is eigenlijk hè, dus dat wat we al zeiden: we gaan voor veel tassen van te voren gaan we bepalen wat nou de afmetingen zijn, die tassen, die slaan we tijdelijk ergens op en wanneer we gaan beladen, dan trekken we die tassen één voor één d’ruit in de volgorde zoals wij ze willen hebben om uiteindelijk tot die optimale belading te komen.Hier heeft de simulatie steeds keuze uit 40 koffers.Je ziet echt, dat d’r veel meer veel dichter op elkaar in gaan waardoor dus vulgraad veel hoger wordt. En uiteindelijk gaan hier…Dus nauwelijks loze ruimtes?Precies. D’r gaan ongeveer 42 koffers in, terwijl de vorige d’r maar 28 in gingen. Dus dat is echt een groot verschil.Ja, dus dat betekent, dat 2 containers beladen, houdt je d’r dan eentje over. Elke tas kan gedraaid liggen, hij kan op zijn zij liggen en nou ja, d’r zijn echt duizenden mogelijkheden. Dus als je die allemaal zou willen uitproberen, ja, dan ben je een dag aan het rekenen. Ja, en dat hebben we niet, want die tassen moeten wel binnen een uur in het vliegtuig. Dus wat wij eigenlijk doen: we bekijken wel alle opties, maar op moment dat we zien dat één optie het niet gaat worden hè, na 2 tassen al, nou, met deze vulgraad, dat wordt ‘m niet, dan gaan we snel naar de volgende. En dat maakt het mogelijk, samen met wat andere slimme truc-en, om wel in hele korte tijd de optimale vulgraad te bepalen.Kijken jullie dan ook wat dan de optimale buffer is?Jazeker. Ik denk, dat we dat goed aan de hand van dit.., dit grafiekje eventueel kunnen laten zien. De groene lijn, daar zijn eigenlijk de lintjes niet van de koffer afgeknipt en bij de blauwe wel. Dat zie je dus hè, dat die vulgraad van die container, die zo belangrijk is, dat ie gelijk met 10% eh, ja, omhooggaat als je die lintjes gewoon d’raf knipt. Nou, het 2de effect wat ik zei is het effect van die buffergrootte en daarbij zien we dus hè: hoe groter je die buffer maakt, hoe groter die vulgraad wordt. Nou, en als je dat gaat vertalen naar het aantal koffers, dan zie je dus hè, dat met een hogere vulgraad kom je rond de 45 koffers uit.

Vliegtuigbagage

Het gebruik van een ruimtelijk model kan helpen om slim en efficiënt een laadcontainer op te vullen. Hoe? Bekijk deze clip.  

Wat is de optimale vulgraad?

Wiskundige modellen helpen raceauto’s sneller door de bocht. Om sneller te gaan moeten we sneller door bochten heen gaan. Eén van de dingen waar je naar kan kijken is: “in welke lijn moet je door een bocht rijden om uiteindelijk zo snel mogelijk door die bocht heen te gaan?”. 
Elke auto kan versnellen langs 2 lijnen: ten eerste de langs-versnelling, A-X, in de lengterichting, normaal heet dat “gas geven” en “remmen”. Ja, ook remmen, want dat is negatieve versnelling. Daarnaast hebben we de dwars-versnelling: A-Y: hoe hard de auto naar links en naar rechts kan. Als je A-X en A-Y combineert en de maximale waarde daarvoor opzoekt, dan krijg je een model van de racewagen, wat men noemt de “tractioncirkel”. Die geeft voor elke richting aan wat de maximale versnelling in die richting is voor deze specifieke wagen.
De snelste rondetijd zet je neer als je op elk gewenst moment maximaal versnelt in de gewenste richting. Dus wij zijn op zoek naar de lijn die hier staat: het maximum van wat de auto kan. Het voertuig waar wij mee rijden kan dit, we zien: we kunnen heel hard vertragen, we kunnen iets minder hard versnellen, maar we kunnen ook heel hard links en rechts de bocht om. Dit is het plaatje van de Tarzanbocht en ik heb van de Tarzanbocht 3 verschillende lijnen gemaakt die we daar kunnen rijden.
Voor de bocht moet je remmen en liefst zo laat mogelijk, bepalend voor de snelheid V als je de bocht ingaat is dus vooral de A-X van de auto, hoe hard ie kan remmen dus. In de bocht is je snelheid een functie van de wegligging A-Y van de auto, die is bekend, en van de bochtstraal R van de bocht die de rijder kiest. Hoe kleiner straal R, des te langzamer komt hij de bocht door. Dan komt hij de bocht uit en versnelt maximaal rechtdoor. Hoe hard hij dan kan rijden is afhankelijk van de A-X en de snelheid V0 waarmee hij de bocht uitkomt. Nou is groen wel de kortste, maar duidelijk niet de slimste route. Meestal wordt deze lijn gekozen: hoog de bocht in, in het midden zo dicht mogelijk tegen de binnenkant, zodat je de bocht met de grootste mogelijke bochtstraal R rijdt, en dan weer hoog de bocht uit. Maar deze jongens hebben uitgevogeld, dat het nog sneller kan: je kiest voor het inrijden van de bocht, het eerste traject, de grootst mogelijke bochtstraal, daarmee rijdt je ver en hard in de bocht door. Je moet wel flink hard doorremmen, want een klein stukje bocht heeft een relatief kleine bochtstraal en dus is je maximale snelheid daar lager. Meteen daarna knal je het gas er weer vol op, omdat je ook weer met een ruime bochtstraal en dus een grotere versnelling de bocht uit kan rijden en dat levert nét effe wat winst op.
Kun je dat ook testen? Ja, dat kunnen we testen, laten we dat maar gewoon doen. Dit is dus de Tarzanbocht, de eerste bocht na de Start op het Circuit van Zandvoort, een haarspeldbocht met een draai van 180 graden. Eerst de kortste route: helemaal tegen de binnenkant van de baan aan, een korte bochtstraal, dus een langzame bocht waar je met lage snelheid uitkomt. Dan wat normaal als de ideale lijn wordt genoemd: helemaal links die bocht in, dan naar de binnenkant en helemaal links de bocht uit, en vol op het gas. Maar dit is wat die jongens hadden bedacht: geleidelijk in de bocht naar binnen, een kort bochtje, en nu al vol accelereren, veel eerder dan bij de vorige lijn.Hoe ga je nu bewijzen, dat je model klopt?Nou, de.., de auto waar we net mee hebben gereden, eh, die zit helemaal vol met sensoren.En, wat blijkt: hier is eigenlijk op te zien wat we net ook zagen: de rode lijn is de lijn zoals wij die noemen de “ideale lijn”. D’r wordt heel laat geremd, dus de snelheid neemt laat af, uiteindelijk is ie een klein beetje lager dan de zwarte lijn en weer heel vroeg kan de rijder op zijn gas gaan, zodat de snelheid uiteindelijk d’r weer boven ligt. De blauwe lijn is de ideale lijn zoals de meeste mensen denken dat het de ideale lijn is. Maar wat je ziet is, dat er vroeg afgeremd moet worden, dan de snelheid redelijk constant blijft en dat het weer heel moeilijk is om daarna op het gas te gaan. Dus dat de snelheid uiteindelijk eronder ligt. Het model bewezen?Het model bewezen.

Wiskunde op de racebaan

Een coureur kan nog sneller racen door op een wiskundige berekende ideale lijn te rijden. Door middel van wiskundige modellering weet hij precies op welke manier je het snelst een bocht kan nemen.

Zo snel mogelijk door de bocht

Die is het geworden hè? Ja. Helemaal top. Dan gaan we dit afrekenen voor jou. Dat is 1, dat is 2. Dan wordt het voor jou 229 Euro en 90 Cent alsjeblieft. Kan ik pinnen?Dat kan zeker weten! Gaat uw gang.
Mijn persoonlijk Identificatienummer, mijn PIN. Even denken, wat was mijn code nou ook alweer? Er zat een 5 in en een 3, en een 4. Ik ben de PIN-code vergeten. Wat was het nou? 3 maal een route code, nu is ie geblokkeerd! Hoeveel PIN-combinaties zijn er eigenlijk mogelijk? 
10 maal 10 maal 10 maal 10, dat betekent dus 10.000 mogelijkheden. Maar betekent dat niet, dat d’r heel veel mensen zijn met dezelfde PIN-code? Ja, als je kijkt, dat d’r zeker 20 miljoen bankpassen zijn, dan betekent dat ongeveer een 2000 Nederlanders die dezelfde PIN-code hebben die jij ook hebt. Alleen: het is wel veilig, want het is namelijk de combinatie van PIN-code met betaalpas. Dan is het ook wel belangrijk, dat je in ieder geval je PIN-code wel geheim houdt.
Wat gebeurt er nou precies nadat ik mijn PIN-code op een betaalautomaat heb ingetoetst, wat voor traject wordt er dan in werking gesteld? Op moment, dat de PIN-code wordt uitgegeven van je, dan wordt ie berekend aan de hand van het bankpasnummer en je rekeningnummer en een hoeveelheid geheime getallen, en dat komt dan in het controlegetal en dat wordt zeg maar opgeslagen door de bank. Op moment dat je dan je PIN-code intoetst op een betaalautomaat, dan wordt die PIN-code door de betaalautomaat ook weer versleuteld met allerlei geheime getallen en verstuurd naar de bank. Bij de bank wordt dat dan ontvangen. Die bank, die gaat als het ware de berekening die toen gemaakt is voor de PIN-code gaat ie, maar dan omgekeerd, die berekening weer uitvoeren. Dan komt d’r weer dat controlegetal uit en dat moet hetzelfde zijn als het getal waar het toen mee begonnen is. Als dat zo is, nou, dan staat de route open naar je rekening en kun je betalingen verrichten met je rekening.

Pinnen

In het hedendaagse betalingsverkeer circuleren meer dan 20 miljoen passen. Allen hebben ze maar een 4 cijferige unieke pincode. Hoe kan dat? 

Oneindig veel mogelijkheden met 4 cijfers

Jij maakt vaak gebruik van een wiskundig model toch? Ik modelleer voetgangers, dus dan probeer ik het gedrag van mensen in een wiskundig model te stoppen, zodat ik het gedrag ook kan voorspellen.
Een ingewikkeld probleem oplossen vergt de systematische aanpak met behulp van een model, zoals het ABC-systeem. Winny maakt daar ook gebruik van. Eerst moet je het probleem goed begrijpen, zien wat de belangrijke factoren zijn. Op grond daarvan bepaal je de aanpak en zo kom je tot een model. A staat voor “analyse”. Dan ga je die aanpak toepassen. De data uit de werkelijkheid voer je in en het model doet zijn werk en geeft de oplossing. De B is van “bewerken”. Dan ga je nog een keer terug naar de werkelijkheid en check de uitkomsten die het model levert met wat de echte wereld laat zien. C staat voor “controle”. Meestal is het niet meteen raak, maar met de gegevens uit C kan je het model wel corrigeren, de factoren net iets anders wegen, parameters bijstellen. En dat levert een nieuw model op wat dan weer ABC-route volgt. En dit herhaal je totdat het model goed is en je probleem is opgelost. 
En dat heb je specifiek toegepast op het gedrang bij roltrappen, toch? Ja, in een grote situatie, een lege ruimte, is het niet zo ingewikkeld wat de mensen allemaal doen, maar in een roltrap, die is veel smaller dan bijvoorbeeld de rest van het perron erom heen en dan ontstaan er dus wachtrijen.
Hoe dan?Wij hebben een test gedaan, dus wij hebben bij ons in het laboratorium hebben we 80 personen uitgenodigd, een camera opgehangen en dan al die mensen maar patronen laten lopen. Dus allemaal 1 kant op, tweerichtingsverkeer, kruisende stromen, en dan precies gekeken hoe elk individu, elke voetganger, zich gedraagt. Dat zijn natuurlijk patronen die je ook hier op het station of op het perron tegenkomt? Je ziet iedereen door elkaar heen lopen? Precies. En wat we hebben gedaan in het laboratorium is, dat we elk patroon apart hebben gedaan en als je dat dan allemaal samendoet, dan krijg je een beetje de situatie op het station. 
Okay, en je hebt het toegepast in Lissabon? Ja, in een bepaald station willen de Spoorwegen poortjes plaatsen zodat alleen mensen met een kaartje op de perrons kunnen komen. De bedoeling is om met zo’n model aan te tonen of er problemen zijn met het ontwerp dat de architect maakt. In zo'n simulatie model zitten een heleboel fomrules. In die formules zitten bepaalde parameters. Aan die parameters moet je draaien om ervoor te zorgen dat jou model ook voor die specifieke situatie geldig is. 
Dan gaan we het model uitbreiden, dan zetten we die poortjes erbij, want dan weten we vanuit het gedrag van die mensen: “dat is goed gemodelleerd”. En dan gaan ze door die poortjes heen en dan zie je dus precies, kan je dus goed voorspellen hoe dat dan met die poortjes werkt.Dus op basis van de tekeningen van de plattegrond heb jij berekeningen gemaakt en gezegd: “het klopt niet, het moet anders!”? Precies.
Waarvoor heb je dan een model voor nodig?O mdat je dat zelf niet goed genoeg kan voorspellen, wij zijn allebei voetgangers en wij zijn gewoon heel complex.

Menselijk gedrag

Door menselijk gedrag experimenteel te testen kan je het gedrag voorspellen. Dit kan oplossingen bieden op drukke plaatsen in het menselijk verkeer.

Gedrag voorspellen met de ABC-route

De kortste afstand tussen 2 punten is een rechte lijn. En de kortste afstand tussen 2 plaatsen op de aarde is een zogenaamde grootcirkel. Maar de kortste route is niet altijd de snelste, de goedkoopste of de veiligste route. Ja, gelukkig, we zijn veilig geland. Mag ik heel even naar de Toren? We zijn in de Verkeerstoren van Schiphol. Je ziet vliegtuigen komen en gaan. En hier, vanuit de Toren, proberen ze dat verkeer zo efficiënt in te delen.
Jacco, we willen van A naar B, wat is de optimale route, hoe berekenen we die? Nou, die hangt af niet alleen vanwaar we vertrekken en waar we naartoe gaan, maar ook van de wind en daarvoor hebben de vliegtuigen in de cockpit een boardcomputer en die kan de optimale route berekenen.
Toch is dat niet de route die we altijd zomaar mogen vliegen? Nee, dat klopt. Die optimale route mag je eigenlijk zelden of nooit vliegen. En dat komt, omdat er in de in de luchtvaart een systeem wordt gebruikt met vaste routes, en de Verkeersleiding bepaalt eigenlijk hoe je daar vliegt, op welke hoogte en welke snelheid, omdat de Verkeersleiding dan een geordend plaatje heeft voor zich en die kan dan kijken waar vliegtuigen elkaar tegen kunnen komen en dat is dan bij kruisingen of hoe vliegtuigen elkaar inhalen op zo’n route, en dat, en dat is veel overzichtelijker dan als iedereen zijn eigen optimale route kriskras door elkaar zou gaan vliegen.
Maar toch hebben jullie onderzoek gedaan naar die optimale route kriskras door elkaar, wat leverde dat op? Ja, dat is het Free-Flight-idee, het idee, dat als je nou zelf in de cockpit kon zien waar de andere vliegtuigen zitten, zou je die dan niet kunnen ontwijken en op die manier toch je optimale route (en inderdaad in zo’n chaotisch verkeerspatroon, als je het van een afstandje met al die vliegtuigen bekijkt) dat toch kan vliegen.
Kun je me laten zien hoe dat d’r uitziet als zo’n conflict tussen 2 vliegtuigen moet worden opgelost?Kijk: we zitten hier in de flightsimulator van het L en R in Amsterdam, maar we zijn verbonden met de flightsimulator van de TU Delft waar ook aan Free-Flight onderzocht wordt. In Delft vliegt nu Cassandra in de simulator en we zien hier dat andere vliegtuig al op ons scherm. We horen een geluidje, dat is een waarschuwing, dat er een gevaarlijke situatie dreigt, een conflict. We zien hier een cirkel en dat is waar wij het dichtst bij elkaar gaan komen, die 2 vliegtuigen. Nou, dat systeem gebruikt verkeersregels die ingebouwd zitten en wij hebben onze positie naar hun uitgestuurd en zij hebben hun positie naar ons uitgestuurd. Wat we in feite doen is, dat we kijken waar we het dichtst bij elkaar zitten, die afstand die daar al bestaat, die mag je alleen maar groter maken. Alsof die 2 posities elkaar afstoten, zeg maar alsof ze geladen deeltjes zijn. Ik zou zeggen: stuur ons maar iets naar links.
Wow! We zien ons het bochtje nu draaien en dan weer recht. Hebben jullie nu kunnen bewijzen, dat het Free-Flight-systeem veilig is? Je kan voor 2 vliegtuigen die op elkaar af vliegen kan je wel allerlei mogelijke situaties doorrekenen, maar voor een situatie met allerlei andere vliegtuigen bewijzen dat het dan ook altijd goed gaat, daar is de wiskunde gewoon nog niet klaar voor. Het ontbreekt ons aan de methodes om dat te bewijzen.
Maar hoe weet u dan, dat dit wel veilig is? Een heleboel dingen simuleren en op die manier kijken wat het gedrag is van het systeem en daardoor krijg je dan een vermoeden over de veiligheid. Maar je moet niet vergeten, dat ook het huidige systeem vandaag de dag zal je niet van kunnen bewijzen, dat het in 100% van de gevallen altijd goed gaat.
Is het zo, dat het plaatje van de Free-Flight-vliegtuigen niet een heel chaotisch beeld oplevert? Ja, als je naar zo’n scherm kijkt, zo’n radarscherm waar al die vliegtuigen op bewegen, dan ziet het d’r in het geval van Free-Flight inderdaad chaotischer uit dan dat hele geordende plaatje met die vaste routes. En voor de meeste mensen is die orde, dat geeft de indruk, dat het veiliger zal zijn. Maar in dit geval bleek dat voor de hoge luchtvaart juist niet zo te zijn. Dus ja, dan toch liever een veilige chaos dan een gevaarlijke orde!

Vliegroutes

Met de vluchtsimulatoren in Delft en Amsterdam wordt ‘Free-Flight’ experimenteel getest. Is het nieuwe systeem ook veilig?

Hoe bepaal je een snelle en veilige route?

Pepernoten

Schrijf je in de voor de maandelijkse nieuwsbrief voor het laatste Schooltv PO-nieuws

Nieuwsbrief PO

Blijf op de hoogte van het laatste Schooltv-nieuws voor VO.

Nieuwsbrief VO

Contact

Schooltv Help

Veelgestelde vragen

Schooltv maakt educatieve content voor het onderwijs, bestaande uit video's en interactief materiaal. Altijd bij de les!

Over Schooltv

Over Schooltv.nl

Schooltv.nl is een videodatabase, gevuld met educatieve en informatieve videoclips, filmpjes, fragmenten, liedjes, animaties, lesvideo’s afleveringen, TV-programma’s, televisieseries, videoverzamelingen en afspeellijsten.