Klas 1/2/3

Klas 4/5/6

Diederik Jekel en Ionica Smeets buigen zich over wiskundige raadsels en begrippen, van exponentiële groei tot oneerlijke taartdiagrammen.

Header studiestof

Wiskunde

Studiestof

Bekijk ook

Extra's

Schooltv biedt meer dan video's! Ontdek onze extra inhoud:

Ontvang jij de nieuwsbrief al? Blijf op de hoogte door je aan te melden en ontvang elke maand een nieuwsbrief naar keuze in je inbox!

Een taart. Peace of pie, Pi-day. Diameter x pi. Mmm. Wiskunde is echt overal. Diederik. Weet je waarvan ik bijna net zoveel hou als van taart? Nou? Grafieken. Nou, maar dat snap ik ook wel. Het allerleukste vind ik om grafieken te sparen waarmee net iets mis is. Dat mensen misleid worden eigenlijk. Precies en heb ik allerlei voorbeelden van, bijvoorbeeld: Deze. Oke. En wat is hier raar aan? Dat Nederlanders de grootste of de langste mensen zijn. Dat klopt wel. Dat is natuurlijk zo ,dat Nederlands heel lang zijn. Maar wat hier heel gek is, is dat het lijkt alsof Nederlanders bijna twee keer zo lang zijn als iemand uit de Filippijnen. Oh ja, die komen echt tot tot kniehoogte. Zo ongeveer. Ja, dat komt dus omdat de as begint op anderhalve meter, dus dan worden de verschillen enorm opgerekt. Als je het netjes zou doen, tada. Oh ja, dan dus op het moment dat verschillen aangegeven worden met een grafiek, dan moet je altijd even naar die verticale as kijken wat dat betreft. Ja, sowieso is het slim om altijd heel goed naar de assen te kijken, want mensen halen er de raarste trucen mee uit. Dit is bijvoorbeeld echt een heel erg berucht voorbeeld. Ja. En wat is dit? Deze grafiek laat zien wat er gebeurde toen de stand your ground law in 2005 werd ingevoerd. Dat was toch dat op het moment dat mensen op jouw grondgebied komen en je zou ze neerschieten uit zelfverdediging, dan ben je niet strafbaar. Precies en die werd in 2005 ingevoerd en deze grafiek laat zien wat er dan rond die tijd gebeurde met het aantal mensen wat stierf doordat ze vermoord werden door ja, dat ze neergeschoten werden. Maar dat ging omlaag op het moment dat het ingevoerd werd. Ja, dat lijkt dus zo totdat je goed kijkt naar de assen. En dan zie je dat ze bovenaan bij nul beginnen en dat er steeds meer worden. Dus ls je hem netjes zou doen en hem omdraait... Dat is echt schofterig. Hoe kan je nou het aantal doden verkeerdom neerzetten? Degene die die gemaakt had zei: dit is een bewuste keuze. Dood is iets negatiefs. Ja. En wapenpropaganda ook. Ja, maar dit is nog niet het ergste. Dat is echt het allerergste als je mensen wil misleiden, dat zijn 3D-taartdiagrammen. Hier heb je er een. Ja, deze komt uit een reclame voor de [piep]. En hier zie je hoe groot het marktaandeel van die [piep] is. Nou die [piep] lijkt het hartstikke goed te doen. Ik bedoel, het is bijna een halve cirkel, dus ik zou zeggen 40, 45 procent. Ja, dat is wat je zo op het blote oog zou zeggen, net iets minder dan de helft. Maar het is dus maar 31 procent. En omdat dat taartdiagram zo vertekent, lijkt het heel veel groter. 31 procent? Da's minder dan een derde. Ja, maar dat is dus dat je dat haast niet kan zien. Dat zie je ook in het echt he. Kijk, nu is de grootste punt de slagroomtaart. Maar als je nou meer van appeltaart houdt, dan is die ineens de grootste. Of misschien ben je meer een mokkapersoon. Ja, of ben je meer van de noten? Uiteindelijk, de taart die vooraan ligt is de grootste. Ja, en je moet bedenken als je een 3D-taartdiagram ziet dat er maar 1 goede vorm daarvan is en dat is als je hem kan eten. Mmm. Honderd procent van de nerds vindt dit lekker.

Onderzoekresultaten worden vaak gepresenteerd in grafieken en diagrammen. Ionica legt uit waarom die soms misleidend kunnen zijn, en waarom je extra goed moet opletten bij 3D-taartdiagrammen.

Het lezen van grafieken

Wat een bocht, wie verkoopt die koffie, echt. De ene keer te slap, dan weer te sterk. Maar deze koffie is met een aan zekerheid grenzende waarschijnlijkheid niet te drinken. Wat betekent waarschijnlijk eigenlijk? Ik bedoel als je het gewoon puur hebt over een kans. Het is meer dan 50% kans, maar minder dan 100%, toch? Wat zou jij zeggen? Ja, ik heb hier wel met collega's aan de universiteit onderzoek naar gedaan en dan gebruikten we kanswoorden zoals nu.nl die vaak gebruikt en dan gaven we mensen een zinnetje als: 'het plan zal waarschijnlijk lukken' En dan voegen we aan hen hoeveel procent kans is er dat het plan gaat lukken? Oe, ik zou bij die zin 80 procent zeggen. Nou, dan ben je niet de enige, want dit zijn de resultaten in een grafiek van deze vraag. Ja, maar het is best wel verspreid. Ja, je ziet dat er een soort piek zit bij 70 en 80, maar er zijn ook mensen die denken ja, waarschijnlijk, dat is 50 procent. Het gaat wel of het gaat niet. Er zijn ook mensen te optimistisch. Oh het gaat waarschijnlijk lukken. Meer dan 95% kans dat het gaat lukken. En ligt het altijd zo ver uit elkaar of hangt dat van het woord af? Ja, wat je ziet is dat bij de meest woorden zou uit elkaar ligt en dat eigenlijk alleen bij de extreme woorden, zoals bijvoorbeeld altijd dan zegt bijna iedereen toch wel 100 procent en bij onmogelijk, zegt bijna iedereen nul. Maar verreweg bij de meeste woorden is er best wel veel verschil tussen wat mensen denken dat zo'n woord betekent. En het woord 'zeer waarschijnlijk', hebben jullie dat ook onderzocht? Hebben we ook onderzocht, wordt ook vaak gebruikt. Komt daar oh ja, maar da's ook best wel uit elkaar. En dat is bizar, want het vervelende is dat dit soort woorden worden natuurlijk gebruikt door instanties als het IPCC die gaat over klimaatverandering. En daar zijn dat soort woorden heel erg belangrijk, dat we begrijpen wat die woorden betekenen eigenlijk. Get IPCC en allerlei andere instituten, die hebben ook echt tabellen hiervoor. Dus die denken we moeten die kansen vertalen naar woorden. Dat is makkelijker voor mensen. En dan spreken ze af van nou, als we zeggen zeer waarschijnlijk, dan bedoelen we meer dan 90% kans. Terwijl heel veel mensen die zeer waarschijnlijk dan dus gaan lezen als 70%. Als je zegt van goh, klimaatverandering komt zeer waarschijnlijk door de mens, bijvoorbeeld. En mensen denken ja, 30% kans dat het ook niet door de mens komt, dan heeft dat nogal consequenties. Ja, ik zou daarom ook veel liever gewoon altijd de precieze getallen zien. Ik denk in ieder geval wel met aan zekerheid grenzende waarschijnlijkheid dat die koffie inmiddels koud is. 99%. 100%.

Als iets ‘waarschijnlijk’ is, hoeveel procent zeker is dat dan? Voor sommige mensen betekent dat 70%, voor anderen 90%. Ionica legt uit waarom deze kanswoorden zo verraderlijk kunnen zijn.

Woorden die kansen aangeven

Oke, het getal pi. Wat was het ook weer, drie punt 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 2 8 4. Diederik. Ik heb een superleuk gedachte-experiment voor jou. Oh, ik ben echt heel erg benieuwd. Stel je voor dat er een dodelijk virus rondgaat. Mmm. Dat hebben we net twee jaar. Is het echt nodig om...? Oe, maar dit is een hypothetisch virus. Ja. En jij hebt het. Oh ja, theoretisch he. Ja. En ik heb hier het medicijn. Oh top. Als je dat neemt heb je 80 procent kans om het te overleven. Nou. Nondeju, dat klinkt als een topidee. Ja hoor. Ho even nog, je hebt ook 20% kans om te overlijden. Ah ja. Oh ja, nee, ja. Nou ik heb er even over nagedacht. Maar uh nee. Nee, lijkt me echt een slecht idee. Nee. En dit is een heel oud gedachte-experiment uit de jaren 70. En wat je ziet is dat mensen dus precies zo kiezen als jij. Als je zegt 80% kans om te overleven zeggen ze nou graag. Als je zegt 20% kans om te overlijden? Dan liever niet. Terwijl het natuurlijk hetzelfde is in dit voorbeeld. Maar het is dus heel erg van belang hoe je het zegt, datzelfde getal voor ons gevoel eigenlijk. Ja, en heel vaak denken we getallen zijn objectief. Maar dit effect heet framing en je moet altijd kiezen hoe je die getallen geeft. En dat maakt dus heel veel uit. En dit gaat dan om medicijnen en cijfers. Heel belangrijk natuurlijk. Maar komt dat dan meer voor dat framing? Ja, frame wordt heel vaak gebruikt, dus in de media door politici, door reclamemakers. Die kiezen het frame. De blik op de cijfers die het beste past bij hun verhaal. En wat kan je nou als kijker eraan doen, als je dat soort dingen hoort? Ja, het helpt om je hiervan bewust te zijn en je kan ook dingen omdraaien. Dus als een reclame zegt dat je 50% kans hebt op succes, betekent dus ook dat je 50% kans hebt op mislukking. Maar zelfs als je dit heel goed kunt en weet, dan nog gaat het vaak automatisch mis omdat dit zo diep in mensen zit dat het heel moeilijk is om ertegen te vechten. Oke. Nou, ik heb hier een heel lekker koekje, dit heerlijke koekje. Heb je daar zin in? Maar 30% vet? Oh nee, nee, ik let een beetje op met wat ik eet dus dat ga ik niet doen. Maar ook 70% vetvrij. Oh ha. Ja, daar vallen we allemaal voor. Ja. Ja.

Een medicijn met 80% overlevingskans klinkt best aantrekkelijk. Maar als je tegen mensen zegt dat ze 20% kans hebben om te overlijden zijn ze minder enthousiast. Ionica legt uit hoe je getallen kunt gebruiken om je verhaal kracht bij te zetten.

Framing van getallen

Het ziet er heel gezellig uit met die linzen maar wat is ze nou weer aan het doen? Een of ander rekenlesje dit. Zaakje in peulvruchten begonnen. Wat gaat dit...? Diederik. Ja. Hoeveel is 25% van 4? 25% is een kwart en een kwart van 4 is 1. Ja, helemaal goed. En dan: hoeveel is 4% van 25? Oh. Nou dan moet je 25 delen door 100. Dan kom je op 0,25 uit en dan doe je dat keer 4. En dan kom je ook op 1 uit. Ja precies, het is gewoon precies hetzelfde. 4% van 25 is hetzelfde als 25% van vier. Ja. En dat werkt altijd. Als je a procent van b neemt, is dat hetzelfde als b procent van a. Maar welk getal je ook kiest? Welk getal je ook kiest. En 3% van 100 is hetzelfde als 100% van 3. Ja, zeker. En deze rekentruc, die gaat dus eens in de zoveel tijd viral. En dan zie je allemaal mensen die zeggen van oh, ik wou dat ik dit op school had geleerd en had ik dit maar eerder geweten. Dus ik dacht als wij daar nou een filmpje van maken dan ja, leren mensen het misschien op school. En misschien gaan we ook wel viral. Sowieso. Like en subscribe! En deel het. Maar hoe werkt dit? Om dat uit te leggen heb ik hier hoopjes linzen gelegd, dus hier zie je vier hoopjes van elk honderd linzen. Je zei net al, als je procent uitrekent ga je eerst delen door honderd. Wat je eigenlijk doet is dat je steeds een kwart neemt he, want dat is 25%. Dat zei je al. Da’s een vierde. En dat doe je dan vier keer en dan krijg je uiteindelijk een heel hoopje. Ja. En dan bij 25, als je daar 4% van wil nemen, dan moet je dus van elk hoopje er vier nemen. Ja. En dat 25 keer. Ja. Dus als je dat dan netjes zou doen, dan krijg je 4 keer 25. Ja. Is uiteindelijk natuurlijk ook gewoon weer een heel hoopje. Ja. Dus daar doe je 4 keer 25 En hier doe je 25 x 4? Ja, en dat hebben natuurlijk mensen wel geleerd op school he, dat een vermenigvuldiging commutatief is, dat a x b altijd hetzelfde is als b x a. Zeker, ja. Da's een belangrijke voorwaarde natuurlijk voor allerlei zettheorieen, toch? Ja, nee. Zeker als je allerlei wiskundige ruimtes hebt waarin dat dan niet geldt, dan loop je ook tegen allerlei problemen aan. Een soort paradoxale problemen die je dan weer krijgt. Ja, dan loopt alles in de soep. Ja.

Wist je dat 25% van 4 hetzelfde is als 4% van 25? Dat noem je in de wiskunde commutativiteit. Ionica legt het uit aan de hand van hoopjes linzen.

Omgekeerd hetzelfde

Hoe zit het nou eigenlijk? Ik las ergens 'twee glazen cola per dag verdubbelt de kans op nierfalen'. Twee keer zo grote kans, maar twee keer wat dan eigenlijk? En dat is dus precies wat je wil weten. Want je leest heel vaak in de media dit soort relatieve kansen he, dan staat er 'twee keer zoveel kans op'. Maar je wil eigenlijk weten wat het absolute verschil is. Want stel dat je eerst 50 procent kans had op nierfalen en het verdubbelt, dan wordt het 100 procent, wat je niet wil. Maar het zou ook wel zo kunnen zijn dat de kans eerst 1 op 1 miljoen was. Nu verdubbelt die in en wordt het 2 op een miljoen. Ja, en dat is een heel ander verhaal. En misschien is het handig om een getallenvoorbeeld uit de praktijk te pakken om het een beetje duidelijk te maken met al die relatieve en absolute kansen. Van het eten van rood vlees, daarmee verhoog je de kans op darmkanker met 18 procent. Maar wat betekent dat als je het laat zien? Kijk, dus dit is de situatie. Mensen gaan sowieso darmkanker krijgen, helaas. Dus van de 100 mensen zullen 6 mensen dat gedurende hun leven krijgen, ook als ze geen rood vlees eten. Dus dat zijn die 6 rooien. En nu weet je dat het 18 procent meer wordt. En dan krijg je al snel het gevoel dat er wel 18 rooie dingen zullen komen te liggen. Maar dat is niet zo, want dat is 18 procent ten opzichte van die 6 en dat is er 1. Dus een 18 procent toename van 6 is 7. Ja, dus relatief is het 18 procent. Een absoluut betekent dat je van 6 naar 7% kans gaat. Ja, die 18% klonk een stuk heftiger. Klonk een stuk enger, zeg maar. Ja, dat zie je heel vaak, dat in de media, maar ook artsen zelf dus heel erg dit soort relatieve kansen gebruiken om mensen te waarschuwen. En ik las laatst ook bijvoorbeeld in deze categorie de waarschuwing dat je op moet letten voor ruimtepuin. Wist je dat als je vier uur per dag buiten loopt, dat je dan 11 keer zoveel kans hebt om geraakt te worden door ruimtepuin? 11 keer zoveel? Dat vind ik echt bizar. 1100 procent, een verelfvoudiging. Ik kom nooit meer buiten. Ja, ja. Ik denk dan dat je prima naar buiten kan. Want de kans dat je geraakt wordt door ruimtepuin, die is nihil. Dus ook al wordt ie 11 keer zo groot, is ie nog steeds heel klein? Dus jij zou gewoon naar buiten gaan? Tuurlijk joh, net zo veilig als binnen. Maar jij bent ook een waaghals.

In de media lees je vaak berichten over relatieve kansen, zoals ‘twee keer zoveel kans op nierfalen’. Wat betekent dat precies? Ionica en Diederik leggen uit wat het verschil is tussen relatieve en absolute kansen.

Het verschil tussen relatieve en absolute kansen

IJs is gewoon topspul. Als je er gewoon goed over nadenkt, qua smaak, kleur alles. Is gewoon geen nadeel aan ijs te verzinnen. Wist je dat ijsjes levensgevaarlijk zijn? Je kan laten zien dat ze verdrinkingen veroorzaken. Kan je nou ook al mijn gedachten lezen? Nee, het is echt waar. Kijk maar even naar de cijfers. Hier zie je het. Hoe meer ijs er verkocht wordt, hoe meer verdrinkingen er zijn. Glashelder. Maar dan zou je kunnen denken als je naar die cijfers kijkt, dat dat misschien komt, dat mensen kramp krijgen van het ijs eten en dan vervolgens verdrinken omdat ze niet meer goed kunnen zwemmen. Nee, dit is een klassiek voorbeeld in de statistiek van een verband, een correlatie die niet betekent dat er een oorzaak, een causaliteit is. Dus er zijn wel degelijk meer verdrinkingen als er meer ijs verkocht wordt, maar dat komt niet door die ijsjes. In dit geval is het dan dus zo dat in de zomer gaan meer mensen ijs eten omdat het warm is. Maar mensen gaan ook meer zwemmen en dus is de kans ook groter dat ze verdrinken. Is dat meer wat er gebeurt? Ja, dus hier zie je dat er eigenlijk iets anders achter allebei die dingen zitten wat ze daadwerkelijk veroorzaakt. Er zijn heel veel voorbeelden van verbanden waarvan mensen dachten dat het causaal was, terwijl het niet zo blijkt te zijn. Dus bijvoorbeeld chocolade en migraine. Dat je een migraine-aanval kan krijgen op het moment dat je chocola eet. Dat dachten we. Maar uit recent onderzoek blijkt dat het dus precies omgekeerd is. Voordat je migraine krijgt, gebeurt er al iets in je lichaam waardoor je superveel zin krijgt in chocolade. Maar dat lijkt me hartstikke lastig om uit te zoeken dan wat wat veroorzaakt. En. En ook best wel belangrijk toch? Want voor je het weet maak je beleid op iets verkeerds of zo. Ja, dat zie je dus heel vaak dat mensen zien dat er een verband is in de cijfers en dan onmiddellijk conclusies gaan trekken. En een voorbeeld wat ik zelf echt pijnlijk vind is dat er gezien werd dat kinderen die hoge cijfers haalden vaak veel zelfvertrouwen hadden. En dachten ze van nou, dan moeten we dus zorgen dat kinderen veel zelfvertrouwen hebben. Dus in het onderwijs, extra aandacht daarvoor en dat soort dingen. Ja, alleen toen ze dit beter gingen onderzoeken, toen bleek dat het eigenlijk andersom was, dat kinderen veel zelfvertrouwen krijgen doordat ze ergens goed in zijn en dat je dus veel beter beleid had kunnen maken om kinderen te stimuleren om ergens goed in te worden. Nou heb ik vandaag ook drie voorbeelden gehoord waarvan ik me afvraag wat nou waar is. Ik bedoel, kinderen zouden slimmer worden van pianoles. Ik hoorde dat verzekeraars daar achter kwamen dat bij een brand, als er veel brandweerlieden aanwezig zijn er dus ook veel schade is. En dat huwelijken zouden stranden op het moment dat er veel porno gekeken wordt? Ja nee dus eigenlijk altijd als er een verband is, moet je echt wel goed nadenken en kijken of er echt iets aan de hand is. Dus. Ja. Weet je dat van die huwelijken en die porno? Ik weet het niet hoor? Ga je nu eh...?

Als er veel ijs wordt verkocht, stijgt het aantal verdrinkingen. Betekent dat ook dat het ene door het andere wordt veroorzaakt? Diederik en Ionica vertellen over de verbanden correlatie en causaliteit.

Correlatie of causaliteit?

Ik verveel me echt zo. 't Is echt lang geleden dat ik zo niks te doen had. Saai. Zit jij je nou te vervelen? Ja. Hoezo? Nou, ik wil niet lullig doen, maar dit las ik dus gisteren. Vervelen is dodelijk. Kop. Zwart op wit. Bam. 
Diederik, je moet niet altijd geloven wat je leest. Het is wetenschappelijk onderzoek. Het werd door meerdere vrienden doorgestuurd. Ik heb het niet helemaal of gewoon helemaal niet gelezen, maar uiteindelijk is het toch duidelijk wat zo'n kop zegt, daar kan je toch niks anders van maken dan 'het is dodelijk’. Tip 1. Lees dan even zo'n artikel voordat je het doorstuurt naar anderen. Bijvoorbeeld, door wie is dit dan onderzocht? Ja, onderzoekers. Maar zijn dat onderzoekers van een betrouwbaar wetenschappelijk instituut? Of zijn het bijvoorbeeld onderzoekers van een spelletjesfabrikant die graag wil dat je spelletjes gaat kopen omdat verveling heel dodelijk is? Ja, of zo'n aircofabrikant die waarschuwt voor te weinig frisse lucht op het werk, zeg maar, zodat je meer airco's koopt. Precies, er zijn heel veel van dit soort onderzoeken die niet zo betrouwbaar zijn. En het kan nog erger, want het kan ook zijn dat iets alleen maar op muizen is getest. Dan zet je je muizen in heel saaie prikkelarme kooien en dan ga je kijken wat er mee gebeurt. En dan doe je alsof dat hetzelfde is als mensen die zich af en toe even vervelen. En hoe moet je dan als je een lezer bent voor dit soort dingen berucht zijn? Want dat is hartstikke moeilijk. Dit is gewoon goed onderzoek doen eigenlijk. Ja, het is heel lastig, maar je kan een paar dingen doen. Dus het hele artikel lezen. Kijken of de bron betrouwbaar is. Kijken of het onderzoek een beetje solide klinkt. En je kan ook kijken of er een onafhankelijke expert ook in het filmpje of in het artikel zit, die ook zegt dat dat klopt. En als die dan zegt nee, nee, nee, het zit echt zo, dan is het best betrouwbaar. En sowieso kan ik me voorstellen dat dit soort koppen 'verveling is dodelijk', zo simpel is het toch eigenlijk nooit? Wat zou de kop moeten zijn dan over die verveling? Ja, wetenschap is vaak gewoon nogal genuanceerd, dus de echte kop zou iets moeten zijn als: verveling kan iets doen met mensen. Afhankelijk van de intensiteit, situatie en de duur van verveling, zou het mensen creatiever, kalmer en rustiger kunnen maken en het zouden kunnen inspireren en daarmee gelukkiger maken. Maar verveling kan ook leiden tot depressie, angst en stress en dat zorgt er dan voor dat mensen waarschijnlijk minder lang leven. Misschien.

In de media wordt wetenschappelijk onderzoek vaak teruggebracht tot sensationele koppen en hapklare brokken. Maar hoe beoordeel je of een bewering als ‘verveling is dodelijk’ nou betrouwbaar is? Ionica geeft tips.

Wetenschap als clickbait

Oke, dit klinkt echt nergens naar. Ik moet les hebben. Nou ja, misschien is gewoon de piano ontstemd, dat zal het zijn, ik heb een pianostemmer nodig. Hoeveel pianostemmers zijn er eigenlijk in Amsterdam, zou ik dat kunnen schatten? Nou, dat kan je zeker schatten. Want sterker nog, Enrico Fermi, een beroemde natuurkundige, die vroeg altijd aan studenten om dit soort schattingen te maken omdat ie ze wilde leren hoe je goed om kan leren gaan met getallen. Ja want als je die intuïtie hebt, ja, wat dan iemand op het nieuws of wat een politicus dan ook zegt, je krijgt een soort gevoel ervoor; klopt het wel? Oké, dus hoeveel pianostemmers zijn in er Amsterdam? Hoeveel mensen wonen er in Amsterdam? Een miljoen, ongeveer. Oke een miljoen. Uh, met z'n hoevelen wonen ze? Twee per huishouden. Vijfhonderdduizend huizen. Hoeveel ervan hebben een piano? Een op de vijftig? Oke, dan hebben we tienduizend piano's. Nou die moeten zeg een keer per jaar gestemd worden. Heb je tienduizend stembeurten. Hoeveel werkdagen zouden er zijn voor dat pianostemmen? Nou als je vijftig weken in het jaar werkt, vijf keer per week, dan heb je tweehonderdvijftig werkdagen. Oke, we hebben tienduizend stembeurten. Tweehonderdvijftig werkdagen, dat zijn er veertig per dag. Hoeveel mensen heb je daarvoor nodig? Uh, nou ja, ik denk dat je maximaal vier piano's per dag kan stemmen, toch? Ernaartoe en alles. Dus dan kom je op veertig stembeurten per dag. Iedereen kan er vier doen, dus heb je er tien nodig. Tien pianostemmers in Amsterdam. Ik ga voor de zekerheid heel even checken. Dus ga ik even opzoeken 'pianostemmer Amsterdam'. Dan zijn het er...Ja, dit is een heel akelig natuurlijk, zo precies. Het zijn er gewoon tien. Ja, kijk, en je hoeft het niet bij dat soort schattingen zo precies uit te komen. Maar je wil wel weten zijn het er ongeveer tien, zijn het er honderd, zijn het er tienduizend? Je kunt dus heel veel van dit soort vragen stellen. Een paar jaar terug vroeg ik bijvoorbeeld aan studenten op het tentamen: hoeveel benzinestations zijn er in Nederland? Ik zou dan denk ik, ik denk hoeveel Nederlanders te zijn, hoeveel daarvan een auto hebben en hoe vaak je moet tanken met zo'n auto. Ja, maar het kan ook sneller. Er was ook iemand die zei nou, ik kom uit Vught. Ik weet hoeveel mensen er in Vught wonen. Ik weet precies hoeveel benzinestations er zijn en dan kan ik dat ook wel vertalen naar Nederland, want ik weet hoeveel mensen daar wonen. Je kan het zo gek niet verzinnen van allerlei dingen van hoeveel kinderen er per jaar geboren worden in Nederland tot buitenaards leven. Je kan alles wel afschatten. Belangrijkste is dat je het hele probleem opdeelt in kleine stukjes en gewoon oefent. Hoe vaker je dit doet, net zoals pianospelen, als je het maar vaak genoeg doet, word je er vanzelf beter in. Hoeveel pianostemmers zijn er eigenlijk in Leiden? Ik weet niet. Ik denk dat we meer naar pianodocenten moeten zoeken, of ik dan.

Hoeveel pianostemmers zijn er in Amsterdam? Dat kan je natuurlijk googelen, maar je kan het ook proberen te schatten. Ionica en Diederik laten zien dat dat helemaal niet zo ingewikkeld hoeft te zijn.

Snel schattingen maken

Blauwe en oranje M&M's. Ionica is zo veranderd sinds haar succes. Ze wil alleen maar blauwe M&M's? Ik ben benieuwd of zij kan schatten wat het aandeel blauwe snoepjes hierin is. Ja, nee, dat kan ik natuurlijk zeker. Ik zou ze kunnen tellen, maar volgens mij zitten er zo'n 2000 chocoladesnoepjes in, dus dat is veel werk. Dus ik ga iets veel slimmers doen. Ik neem een steekproef. Dus ik neem een handje. Dan ga ik even tellen. Een, twee, drie, vier, vijf, zes, zeven en acht oranje dus dan heb ik er in totaal tien, waarvan twee blauwe dus eenvijfde in de bak moet blauw zijn. Dus je zegt een vijfde is blauw. Twintig procent, zeker. Aha. Hahaha. Ha. Fifty-fifty. Zit je dan met je steekproef. Ja gast. Ja, eh, dan moet je ook wel gewoon goed opletten, want dit was gewoon geen representatieve steekproef zoals dat heet. Ja, als jij expres onderin een hele berg blauwe doet dan ja dan kan ik het inderdaad niet goed tellen he. Nee, maar daar moet je dus ook echt rekening mee houden dat het goed gemixt is wat dat betreft. Ja en dat is stom, want dat wist ik inderdaad wel. Dat je als je een enquête bijvoorbeeld afneemt, dat je wel moet kijken dat alle verschillende meningen evenveel kans hebben om erin te komen. Er zijn zoveel voorbeelden van waar dat misgaat. Dus dan was er bijvoorbeeld ooit een enquête waarbij ze vroegen of mensen graag wilden dat winkels op zondag open waren. En dat vroegen ze in een winkelcentrum op zondag. Ja, ja. Ik kan me voorstellen dat er niet heel veel tegenstanders waren. Nee, dus eigenlijk zijn dan de tegenstanders als die blauwe M&M's die onderop zijn lekker gaan liggen. Ja. En zo wordt bijvoorbeeld ook heel veel geneesmiddelenonderzoek gedaan op gezonde jonge mannen. Zodat je eigenlijk helemaal niet zeker weet hoe goed ze werken op vrouwen van boven de zeventig of psychologie-onderzoek op eenentwintigjarige psychologiestudenten. En dan heb je nog het ergste van alles: internetenquêtes. En waarom zijn de internet enquêtes zo ellendig? Nou, omdat je daar helemaal niet kan zien wie er wel en niet meedoen. En vaak reageren bijvoorbeeld vooral de mensen die boos zijn. Als je het nou goed mengt dan werkt dit wel heel goed natuurlijk. Ja, en dat is dus wat je zou willen bij een goeie steekproef. Dat je zorgt dat iedereen evenveel kans heeft om mee te doen zodat je alles echt hoort. Nou, nu kan ik denk het netjes gaan tellen. 1, 2, 3....Mmm. Maar mijn partner. 100% blauw of niet? Haha.

Bij een steekproef onderzoek je niet de hele groep, maar selecteer je een gedeelte van die groep. Zo krijg je een betrouwbaar resultaat, als de selectie tenminste representatief is voor de hele groep.

Een steekproef uitvoeren

Oh god, ze heeft weer wat meegebracht hoor. Schaakbord, suikerklontjes? Oh ja, dit wordt natuurlijk dat verhaal met die koning en dat schaakbord en die rijst. Ken je dat verhaal van de man die van een heel rijke koning een beloning uit mocht zoeken? En toen zei die man: nou, ik wil graag wat rijst. Dan wil ik 1 rijstkorrel op het eerste vakje van het schaakbord. Twee rijstkorrels op het volgende vakje en om zo steeds verder. Dus 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, En zo gaat het maar door. Supersnel neemt het hand over hand toe. Zo snel zelfs dat die koning dacht: ja, een paar rijstkorrels, wat maakt het uit? Maar hij ging er uiteindelijk failliet aan geloof ik toch? Ja, dat zou zoveel rijst zijn dat je dat op de hele wereld niet kan vinden. Hoeveel suikerklontjes heb je hier nu? Ik heb er tweeduizend. Tweeduizend, dus dan kom je net niet bij vakje elf, toch? Ja, dat haal je net niet. En het is echt moeilijk te bevatten hoe snel 't gaat. Dus op dit vakje zouden er al een miljoen moeten liggen, hier een miljard en op het laatste vakje negen triljoen. Wauw, het past niet eens op aarde, zeg maar zoveel. Maar is dit een voorbeeld van exponentiële groei en de afgelopen jaren was natuurlijk een heel ander, duidelijk voorbeeld van exponentiële groei, namelijk de groei van het virus. En ook daar zag je dat het elke keer op een bepaalde manier bijvoorbeeld verdubbelt. En dat was dat R-getal van 2 in dit geval. Elke keer wordt het twee keer zoveel. Je zag ook dat die exponentiële groei heel slecht in de hoofden van mensen past. En dat kan je mooi laten zien door het andersom te bekijken. Dus dit is de situatie eigenlijk als bijvoorbeeld alle ziekenhuisbedden vol liggen. Toch, dat moet dit voorstellen. Precies, dus dit zijn dan allemaal bezette bedden en dit is het moment dat iedereen nog geen paniek raakt omdat het niet meer past. Dit is code zwart, alles is vol, alles is klaar. Ja, en dan kan je kijken hoe het dan de week daarvoor was. Dus het verdubbelt elke week, dus de week daarvoor had je de helft. Zoiets? Ja. Ja. En de week daarvoor had je weer de helft van dit. Ja. Dus twee weken voor het moment dat alles in code zwart en volle ellende zat, was driekwart van je ziekenhuisbedden leeg? Ja, en dat is dus precies wat exponentiële groei zo moeilijk maakt. Je ziet niet aankomen hoe hard het gaat. En als je verder teruggaat is natuurlijk nog extremer, want dan heb je eerst 1 patiënt. Twee patiënten, vier patiënten. Dat lijkt allemaal heel houdbaar. En dan op een gegeven moment, als je groot aantal hebt, wordt die verdubbeling elke keer heftiger. Dus je hoopt gewoon dat beleidsmakers die hierover gaan dat die exponentiële groei echt snappen. Ja, het zou heel goed zijn als beleidsmakers dit filmpje ook exponentieel vaak kijken. Dus vandaag 1 keer, morgen twee keer, overmorgen vier keer enzovoorts. En als je dan zegt ho, maar daar ben ik op gegeven met een hele dag bezig alleen maar jullie filmpje te kijken. Ja ja. Maar de dag daarvoor had je wel de helft van je dag om gewoon de pandemie voor te bereiden. Dus dat scheelt.

Wanneer iets over langere tijd met hetzelfde percentage groeit, spreken we van exponentiële groei. Zo kan 1 rijstkorrel razendsnel groeien tot miljoenen rijstkorrels, leggen Diederik en Ionica uit.

Exponentiële groei

Pepernoten

Schrijf je in de voor de maandelijkse nieuwsbrief voor het laatste Schooltv PO-nieuws

Nieuwsbrief PO

Blijf op de hoogte van het laatste Schooltv-nieuws voor VO.

Nieuwsbrief VO

Contact

Schooltv Help

Veelgestelde vragen

Schooltv maakt educatieve content voor het onderwijs, bestaande uit video's en interactief materiaal. Altijd bij de les!

Over Schooltv

Over Schooltv.nl

Schooltv.nl is een videodatabase, gevuld met educatieve en informatieve videoclips, filmpjes, fragmenten, liedjes, animaties, lesvideo’s afleveringen, TV-programma’s, televisieseries, videoverzamelingen en afspeellijsten.