Wiskundige waarheid

Als er steeds gele kauwgomballen uit een automaat komen, kan je dan met zekerheid stellen dat er nooit een rode uit komt? In de wiskunde zijn experimentele bewijzen nooit genoeg. Maar wanneer is iets de wiskundige waarheid?

Stel: je haalt kauwgumballen uit een hele grote automaat. De 1ste kauwgumbal die eruit komt is geel, de 2de kauwgumbal is geel en de 3de kauwgumbal is geel, en zo ga je door. En elke kauwgumbal die d’r uit komt blijkt een gele kauwgumbal te zijn. Na 1000 keer concludeer je: “uit deze automaat komt altijd een gele kauwgumbal”. Nou, een wiskundige zou dat niet doen. Die wil namelijk eerst het bewijs zijn voor hij iets concludeert over een patroon.D’r zijn bijvoorbeeld beweringen over getallen die we na kunnen gaan voor een heleboel losse getallen, maar waarvan we niet weten of ze altijd waar zijn. Neem bijvoorbeeld de Formule van Goldbach. Deze formule zegt, dat elk even getal groter dan 2 te schrijven is als de som van 2 priemgetallen. Een priemgetal is een getal dat alleen te delen is door zichzelf en door 1. Je kan de Formule van Goldbach heel makkelijk nagaan voor losse voorbeelden: 4 is bijvoorbeeld 2 plus 2, 20 is 13 plus 7 en 2008, dat is 2003 plus 5. Het vermoeden is gecheckt voor alle even getallen tot 10 tot de 18e. Dat is een enorm getal. Maar wiskundigen zijn nog niet tevreden. Het kan nog best zo zijn, dat d’r een getal boven 10 tot de 18e bestaat dat niet geschreven kan worden als een som van 2 priemgetallen. Je kunt nu natuurlijk zeggen: “ja hé zeg, als je zoveel gevallen hebt geprobeerd, dan zal het toch wel altijd waar zijn?”. Dat is helaas niet zo. Er zijn beweringen die waar zijn tot een bepaald heel groot getal en daarna niet meer. Een flauw voorbeeld is de bewering: elk getal is kleiner dan 1018. Voor 1 klopt dit, voor 2 klopt het ook en voor 3 ook en zo kan je heel lang doorgaan en toch ziet iedereen, dat het niet waar is. Dat je een bewering kunt controleren voor heel veel getallen betekent dus niet, dat die bewering altijd waar is. Zonder bewijs weet je nooit zeker dat d’r toch niet ooit nog eens een rode kauwgumbal uit de automaat komt rollen.